Question

【题目】设二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），f（1）=0，且1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立，f（x）是区间[2，+∞）上的增函数．函数f（x）的解析式是；若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，u=m+n，u的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】f（x）=x2﹣4x+3；2＜u＜4﹣
【解析】解：由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0．
∴c=﹣b﹣1，
∴f（x）=x2+bx﹣b﹣1=（x﹣1）（x+b+1），
∵1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立，
∴﹣b﹣1≥3，∴b≤﹣4，
∵f（x）是区间[2，+∞）是增函数，
∴﹣ ≤2，∴b≥﹣4，
∴b=﹣4，c=3，
∴f（x）=x2﹣4x+3；
∵f（x）=x2﹣4x+3，
∴函数在（﹣∞，2）上单调递减，
∵|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，
∴f（m）=﹣f（n），
∴m2﹣4m+3=﹣n2+4n﹣3，
∴（m﹣2）2+（n﹣2）2=2（m＜n＜2）
u=m+n与圆弧相切时，切点为（1，1），u=2，
直线过点（2，2﹣ ）时，u=4﹣ ，
故答案为：f（x）=x2﹣4x+3，2＜u＜4﹣ ．
由已知f（1）=0，可得c=﹣b﹣1，f（x）=x2+bx﹣b﹣1=（x﹣1）（x+b+1），利用1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立，f（x）是区间[2，+∞）是增函数，求出b．即可求函数f（x）的解析式；若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，f（m）=﹣f（n），可得（m﹣2）2+（n﹣2）2=2（m＜n＜2），u=m+n，即可求u的取值范围．