Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．

（1）求证：AC1∥平面CDB1
（2）求证：AC⊥BC1
（3）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图：

设BC1∩B1C=O，则O为BC1的中点，连接OD，

∵D为AB的中点，∴OD∥AC1，

又∵OD平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

（2）证明：∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又∵C1C∥AA1，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥底面ABC，∴AC⊥CC1．

又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1．

而BC1平面BCC1B1，∴AC⊥BC1．

（3）证明：由（2）得AC⊥平面B1BCC1，

∴直线B1C是斜线AB1在平面B1BCC1上的射影，

∴∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成的角，

在RT△AB1C中，B1C=4 ，AC=3，

∴tan∠AB1C= = ，

直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值为 ．

【解析】（1）设BC1∩B1C=O，由三角形的中位线性质可得OD∥AC1 ， 从而利用线面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1 ， （2）利用勾股定理证明AC⊥BC，证明C1C⊥底面ABC，可得AC⊥CC1 ， 由线面垂直的判定定理证得AC⊥平面BCC1B1 ， 从而证得AC⊥BC1 ． （3）得到∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成的角，解三角形即可．