Question

【题目】大庆实验中学在高二年级举办线上数学知识竞赛，在已报名的400名学生中，根据文理学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）估算一下本次参加考试的同学成绩的中位数和众数；

（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

（3）已知样本中有一半理科生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的文理科生人数相等．试估计总体中理科生和文科生人数的比例．

Answer 1

【答案】（1）中位数72.5，众数75；（2）20人；（3）3:2

【解析】

（1）由频率分布直方图知，样本中分数低于50分的频率为0.1，可以估计中位数为：，众数则由直方图即可得出；

（2）由（1）得样本中分数低于50分的频率为0.1，可求出样本中分数低于50分的人数，而样本中分数小于40的学生有5人，即可求出样本中分数在区间[40，50)内的人数，进而可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

（3）根据频率分布直方图，得出样本中分数不小于70的人数为：人，结合题中条件，即可求出100个样本中理科生人数为60人，女生人数为40人，最后根据分层抽样的原理，即可估计总体中理科生和文科生人数的比例.

解：（1）由频率分布直方图知，样本中分数低于50分的频率为：

，

在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.2，

观察可知，中位数位于[70，80]内，

则可以估计中位数为：，

则众数为：.

（2）由（1）得样本中分数低于50分的频率为0.1，

所以样本中分数低于50分的人数为：人，

而样本中分数小于40的学生有5人，

所以样本中分数在区间[40，50)内的人数为：10-5=5人，

根据分层抽样，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为：人.

（3）根据题意，样本中分数不小于70的人数为：人，

而样本中分数不小于70的文理科生人数相等，

则样本中分数不小于70的文科人数为30人，理科人数为30人，

而样本中有一半理科生的分数不小于70，

则100个样本中理科生人数为：人，文科人数为40人，

根据分层抽样的原理，可估计出总体中理科生和文科生人数的比例为：60：40=3:2.