Question

5．在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率．

Answer 1

分析 根据题意，设M（x₀，y₀），分析可得P的坐标，分析可得$x_0^2+{（2{y_0}）^2}=1$，整理得$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，即可得M的轨迹是椭圆，由椭圆的标准方程分析可得其焦点坐标以及离心率．

解答 解：根据题意，设M（x₀，y₀），又由线段PD的中点M，则P（x₀，2y₀），
点P在圆上运动，所以$x_0^2+{（2{y_0}）^2}=1$，整理得$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，
所以点M的轨迹是椭圆，
该椭圆的焦点是$（{±\sqrt{3}，0}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查曲线的轨迹方程，涉及椭圆的几何性质，关键是求出轨迹的方程．