Question

15．已知偶函数f（x）是定义在{x∈R|x≠0}上的可导函数，其导函数为f'（x）．当x＜0时，$f'（x）＜\frac{f（x）}{x}$恒成立．设m＞1，记$a=\frac{4mf（m+1）}{m+1}$，$b=2\sqrt{m}f（2\sqrt{m}）$，$c=（m+1）f（\frac{4m}{m+1}）$，则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． a＞b＞c
• C． b＜a＜c
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 构造函数g（x），求出g（x）的奇偶性和单调性，根据函数单调性的性质判断a，b，c的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
因为当x＜0时f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
所以当x＜0时xf′（x）-f（x）＞0，
即当x＜0时g′（x）＞0，所以g（x）在（-∞，0）上单调递增，
又因为f（-x）=f（x），
所以g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-g（x），即g（x）是奇函数，
所以g（x）在（0，+∞）单调递增，
又因为m+1＞2$\sqrt{m}$＞$\frac{4m}{m+1}$，
所以g（m+1）＞g（2$\sqrt{m}$）＞g（$\frac{4m}{m+1}$），
所以$\frac{f（m+1）}{m+1}$＞$\frac{f（2\sqrt{m}）}{2\sqrt{m}}$＞$\frac{f（\frac{4m}{m+1}）}{\frac{4m}{m+1}}$，即a＞b＞c，
故选：B．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．