Question

17．如图，三棱锥O-ABC中，AO⊥平面OBC，且OA=OB=OC=2，∠BOC=60°，点E，F分别是AB，AC的中点，H为EF的中点，过EF的动平面与线段OA交于点A₁，与线段OB，OC的延长线分别相交于点B₁，C₁．
（Ⅰ）证明：B₁C₁⊥平面OAH；
（Ⅱ）当|BB₁|=2|OA₁|-2时，求二面角A-A₁E-F的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结OE、OF，推导出EF⊥OH，EF⊥AH，从而EF⊥面OAH，推导出EF∥面OB₁C₁，从而EF∥B₁C₁，由此能证明B₁C₁⊥平面OAH．
（Ⅱ）取B₁C₁的中点M，以OM，OA为y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-A₁E-F的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结OE、OF，OE=OF，由题意知AE=AF，
而H为EF中点，∴EF⊥OH，EF⊥AH，
∵OH∩AH=H，∴EF⊥面OAH，
∵EF∥BC，EF?面OB₁C${{\;}_{1}}^{\;}$，∴EF∥面OB₁C₁，
又EF?面A₁B₁C₁，面A₁B₁C₁∩面OB₁C₁=B₁C₁，∴EF∥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面OAH．（5分）
解：（Ⅱ）如图，取B₁C₁的中点M，以OM，OA为y，z轴建立空间直角坐标系，
由题得$A（0，0，2），B（1，\sqrt{3}，0），C（-1，\sqrt{3}，0），E（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1），F（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，
设|OA₁|=h，h∈（1，2），则A₁（0，0，h），|BB₁|=2h-2，
∴B₁（h，$\sqrt{3}h$，0），∵A₁，E，B₁三点共线，∴A₁E∥A₁B₁，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$与$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$平行，∴$\frac{h}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}h}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{-h}{1-h}$，解得h=$\frac{3}{2}$，∴${A_1}（0，0，\frac{3}{2}）$，
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），
设平面面AA₁E的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=-\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
同理得面A₁EF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
设二面角A-A₁E-F的平面角为θ，
则|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{4}$，则sinθ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴二面角A-A₁E-F的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{4}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．