已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)当时,函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内,不等式
恒成立,求实数
的取值范围. [来源:学科
(1)单调递增区间为;递减区间为
;(2)
解析试题分析:(1)先求,解不等式
,并和定义域求交集,得单调递增区间;解不等式
,并和定义域求交集,得单调递减区间;(2)构造函数
,由题意得,
,求
,并解
的根,讨论根与定义域的位置关系,若根在定义域外,则函数单调,利用单调性求函数的最大值;若根是内点,则将定义域分段,分别考虑导函数符号,判断函数的大致图象,并求最大值.
(1)当时,
,
,由
,得
;由
,得
,故函数
的单调递增区间为
;递减区间为
.
(2)因为函数图像上的点都在
所表示的平面区域内,则当
时,不等式
恒成立,即
恒成立,设
,只需
即可.由
,
(ⅰ)当时,
,故
,则函数
在
上单调递减,故
成立,(ⅱ)当
时,令
,得
,①若
,即
,函数
在区间
单调递增,
时,
,此时不满足条件,②若
,即
时,则函数
在
上单调递减,在区间
单调递增,故当
时,
,此时不满足条件,
当是,由
,因为
,所以
,所以
,故函数
在
上单调递减,故
成立.
综上所述,实数a的取值范围是.
考点:1、利用导数求函数的最值;2、利用导数判断函数的单调性.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)当a=l时,求的单调区间;
(2)若函数在
上是减函数,求实数a的取值范围;
(3)令,是否存在实数a,当
(e是自然对数的底数)时,函数g(x)最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N +),其中xn为正实数.
(1)用xn表示xn+1;
(2)若x1=4,记an=lg,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(3)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x3-ax+1.
(1)求x=1时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若对任意m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
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