如图,平面四边形的4个顶点都在球的表面上,为球的直径,为球面上一点,且平面 ,,点为的中点.
(1) 证明:平面平面;
(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
(1)详见解析;(2)
解析试题分析:本小题通过立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,对学生的数形结合思想的考查也有涉及,本题是一道立体几何部分的综合题,属于中档难度试题. (1)借助几何体的性质,得到,借助线面平行的判定定理得到线面平行,进而利用面面平行的判定定理证明平面平面;(2)利用空间向量的思路,建立坐标系,明确各点坐标,求解两个半平面的法向量,进而利用向量的夹角公式求解二面角的平面角.
试题解析:(1) 证明:且,
则平行且等于,即四边形为平行四边形,所以.
(6分)
(2) 以为原点,方向为轴,以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴,建立如图所示坐标系.
则,,,
,,
由,,
可知
由,,
可知
则,
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为. (12分)
考点:(1)直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断;(2)二面角的求法.
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如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由.
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如图,直三棱柱的侧棱长为3,,且,、分别是棱、上的动点,且
(1)证明:无论在何处,总有;
(2)当三棱柱.的体积取得最大值时,求异面直线与所成角的余弦值.
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如图所示,三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中,正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形,俯视图是等腰直角三角形,点M是A1B1的中点.
(1)求证:B1C∥平面AC1M;
(2)求证:平面AC1M⊥平面AA1B1B.
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如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
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如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成30o的二面角,如图二,在二面角中.
(1) 求CD与面ABC所成的角正弦值的大小;
(2) 对于AD上任意点H,CH是否与面ABD垂直。
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在直角梯形ABCD中,AD//BC,,,如图(1).把沿翻折,使得平面,如图(2).
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)在线段上是否存在点N,使得?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
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