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如图,平面四边形的4个顶点都在球的表面上,为球的直径,为球面上一点,且平面 ,点的中点.
(1) 证明:平面平面
(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

(1)详见解析;(2)

解析试题分析:本小题通过立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,对学生的数形结合思想的考查也有涉及,本题是一道立体几何部分的综合题,属于中档难度试题. (1)借助几何体的性质,得到,借助线面平行的判定定理得到线面平行,进而利用面面平行的判定定理证明平面平面;(2)利用空间向量的思路,建立坐标系,明确各点坐标,求解两个半平面的法向量,进而利用向量的夹角公式求解二面角的平面角.
试题解析:(1) 证明:
平行且等于,即四边形为平行四边形,所以.
              (6分)
(2) 以为原点,方向为轴,以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴,建立如图所示坐标系.




可知

可知

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.                    (12分)
考点:(1)直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断;(2)二面角的求法.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在直三棱柱中,,异面直线所成
的角为.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)设的中点,求与平面所成角的正弦值.

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如图,在几何体中,平面是等腰直角三角形,,且,点的中点.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.

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如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.   
(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)证明:∥平面
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(1)证明:无论在何处,总有
(2)当三棱柱.的体积取得最大值时,求异面直线所成角的余弦值.

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(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)在线段上是否存在点N,使得?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.

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