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如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.

(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.

(1)
(2)

解析试题分析:解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OGAF,
G为垂足。连接BG、DG。由BDAC,BDCF得BD平面ACF,故BDAF。
于是AF平面BGD,所以BGAF,DGAF,BGD为二面角B-AF-D 的平面角。
,得
,得

(向量法)以A为坐标原点,方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)
设平面ABF的法向量,则由
,得
同理,可求得平面ADF的法向量
知,平面ABF与平面ADF垂直,
二面角B-AF-D的大小等于
(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。
过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而

又因为
故四棱锥H-ABCD的体积
考点:二面角以及体积
点评:主要是考查了二面角的平面角以及体积的计算。属于基础题。

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