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如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.   
(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)证明:∥平面
(Ⅲ)线段上是否存在点,使所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由.

(I)详见解析;(II)详见解析;(III)点位于点处,此时;或中点处,此时.

解析试题分析:(I)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,线和面内两相交直线垂直,则线垂直面;(II)线与面内一直线平行,则线面平行;(III)利用数量积公式可得两直线夹角余弦.
试题解析:【方法一】
(Ⅰ)证明:由俯视图可得,

所以.          1分
又因为 平面
所以 ,         3分
所以 平面.                                         4分
(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结.       5分
由左视图知 ,所以 .      6分
在△中,易得,所以 .又 , 所以
又因为 ,所以
所以四边形为平行四边形,所以 .               8分
因为 平面平面
所以 直线∥平面.                                     9分
(Ⅲ)解:线段上存在点,使所成角的余弦值为.证明如下:10分
因为 平面,建立如图所示的空间直角坐标系
所以
,其中.                                    11分
所以
要使所成角的余弦值为,则有 ,   12分
所以 ,解得 ,均适合.  13分
故点位于

练习册系列答案
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(1)求证:平面
(2)当二面角为直二面角时,是否存在点,使得直线与平面所成的角为,若存在求的长,若不存在说明理由.

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(1)求证:平面平面;
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(Ⅰ)证明:平面⊥平面
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(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)设点在棱上,且,试求二面角的余弦值.

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(Ⅱ)当时,求二面角的平面角余弦值.

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(1) 证明:平面平面
(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

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如图,在三棱柱中, ,点的中点,.

(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)设点在线段上,,且使直线和平面所成的角的正弦值为,求的值.

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如图,在四棱柱中,侧棱底面,

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值
(Ⅲ)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的解析式。(直接写出答案,不必说明理由)

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