Question

2．设k是一个正整数，（1+$\frac{x}{k}$）^k的展开式中第四项的系数为$\frac{1}{16}$，记函数$y=\sqrt{8x-{x^2}}$与$y=\frac{1}{4}kx$的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，4]，则点（x，y）恰好落在阴影区域S内的概率是（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $1-\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先利用二项式定理求出k值，再利用圆的面积公式求阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率公式解答．

解答 解：根据题意得 ${C}_{k}^{3}•（\frac{1}{k}）^{3}$=$\frac{1}{16}$，
解得：k=4或 k=$\frac{4}{5}$（舍去）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{8x-{x}^{2}}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：x=0或4
∴阴影部分的面积为$\frac{1}{4}π•{4}^{2}-\frac{1}{2}×4×4$=4π-8
任取x∈[0，4]，y∈[0，4]，则点（x，y）对应 区域面积为4×4=16，
由几何概型概率求法得点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为$\frac{4π-8}{16}$=$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$
故选D．

点评 本题主要考查了二项式定理和几何概型的概率求法，考查学生的计算能力，属于中档题．