Question

【题目】设数列{an}满足：a1＝1，且当n∈N*时，an3+an2(1﹣an+1)+1＝an+1．

（1）求a2，a3的值；

（2）比较an与an+1的大小，并证明你的结论．

（3）若bn＝(1)，其中n∈N*，证明：0＜b1+b2+……+bn＜2．

Answer 1

【答案】（1）a2，a3；（2）an+1＞an；见解析（3）见解析

【解析】

（1）由已知数列递推式得出an+1，依次代入计算可得a2，a3的值；

（2）利用作差，通分后配方可证明an+1＞an；

（3）由于bn＝（1），且an+1＞an，得0，由an+1＞an＞…＞a1＝1＞0得bn＞0，从而可得b1+b2+……+bn＞0；再由bn＝（1）

，得到bn．利用裂项相消法得，从而可证得结论．

（1）解：依题意，由an3+an2（1﹣an+1）+1＝an+1，可解得an+1，

则a2，

a3；

（2）解：an+1＞an．

证明如下：

由（1）得an+1，

∴an+1﹣an0，

∴an+1＞an；

（3）证明：由于bn＝（1），

由（1）an+1＞an，则1，0，

而an+1＞an＞…＞a1＝1＞0，则bn＞0，

∴0．

又于bn＝（1），

∴bn．

∴2[()+()+…+()]，

∴，

而an+1＞an，且a1＝1，故an+1＞0．

∴，从而0＜b1+b2+……+bn＜2．