Question

20．四面体ABCD各个点都在球面上，AB⊥面BCD，且∠BCD=$\frac{π}{2}$，AB=3，CD=5，BC=4，则该球的体积是$\frac{125\sqrt{2}π}{3}$．

Answer 1

分析 可得AC=5，BC⊥AC，即AC是Rt△ABD，Rt△ACD的公共斜边，此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，即可求此四面体ABCD的外接球半径．即可求得体积

解答 解：∵AB⊥面BCD，且∠BCD=$\frac{π}{2}$，AB=3，BC=4，
∴AC=5，BC⊥AC，即AC是Rt△ABD，Rt△ACD的公共斜边，此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点
∴四面体ABCD的外接球的半径为R=$\frac{1}{2}AD$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
∴该球的体积是V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}π}{3}$
故答案为：$\frac{125\sqrt{2}π}{3}$

点评 本题考查了四面体ABCD的外接球的体积．找到球心是解题关键，属于中档题．