Question

10．若（1-2x）²⁰¹⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₇x²⁰¹⁷（x∈R），则$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{{2}^{2}}$a₂+$\frac{1}{{2}^{3}}$a₃+…+$\frac{1}{{2}^{2017}}$a₂₀₁₇的值为-1．

Answer 1

分析 在所给的等式中，令x=0，可得a₀ =1，再令x=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{{2}^{2}}$a₂+$\frac{1}{{2}^{3}}$a₃+…+$\frac{1}{{2}^{2017}}$a₂₀₁₇的值．

解答 解：∵（1-2x）²⁰¹⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₇x²⁰¹⁷（x∈R），令x=0，可得a₀ =1；
再令x=$\frac{1}{2}$，可得a₀+$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{{2}^{2}}$a₂+$\frac{1}{{2}^{3}}$a₃+…+$\frac{1}{{2}^{2017}}$a₂₀₁₇=1+$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{{2}^{2}}$a₂+$\frac{1}{{2}^{3}}$a₃+…+$\frac{1}{{2}^{2017}}$a₂₀₁₇=0，
∴$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{{2}^{2}}$a₂+$\frac{1}{{2}^{3}}$a₃+…+$\frac{1}{{2}^{2017}}$a₂₀₁₇=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．