Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{3π}{2}$对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求ω和φ的值；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（$α+\frac{3π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数图象上相邻两个最高点的距离为π，得函数的最小正周期为π，求出ω=2，由函数图象关于直线x=$\frac{3π}{2}$对称，能求出φ=$\frac{π}{2}$．
（2）由f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cos2x，f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求出cosα=$\frac{1}{4}$，sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，由此利用诱导公式能求出cos（$α+\frac{3π}{2}$）．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）图象上相邻两个最高点的距离为π．
∴函数的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，∵ω＞0，∴ω=2，
∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{3π}{2}$对称，
∴$2×\frac{3π}{2}+$φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）知f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cos2x，
∵f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），
∴f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}cosα$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴cosα=$\frac{1}{4}$，sinα=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos（$α+\frac{3π}{2}$）=sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查三角函数中参数及三角函数值的求法，考查三角函数的图象、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．