Question

15．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{c}{c-2b}=\frac{cos（π+A）}{{sin（\frac{π}{2}+C）}}$
（1）求角A的大小；   
（2）若b+c=4，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式得$\frac{a}{2b-c}=\frac{cosA}{cosC}$，由余弦定理得b²+c²-a²-bc=0，由此能求出A．
（2）由${S_△}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{b+c}{2}）^2}=\sqrt{3}$，能求出三角形面积的最大值．

解答 解：（1）∵在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
$\frac{c}{c-2b}=\frac{cos（π+A）}{{sin（\frac{π}{2}+C）}}$，
∴$\frac{a}{c-2b}=\frac{-cosA}{cosC}$，即$\frac{a}{2b-c}=\frac{cosA}{cosC}$，
由余弦定理得$\frac{a}{2b-c}$=$\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}}$，
整理，得b²+c²-a²-bc=0，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b+c=4，
∴${S_△}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{b+c}{2}）^2}=\sqrt{3}$
当且仅当b=c=2时，取等号．
∴三角形面积的最大值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形中角的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查诱导公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．