Question

已知曲线C的参数方程为

x=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换

x′= 1 3 x y′= 1 2 y

得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程；
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；
（2）设P（x，y），A（x₀，y₀），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）将

x=3cosθ y=2sinθ

代入

x′= 1 3 x y′= 1 2 y

，得C'的参数方程为

x=cosθ y=sinθ

∴曲线C'的普通方程为x²+y²=1．                  …（5分）
（2）设P（x，y），A（x₀，y₀），又B（3，0），且AB中点为P
所以有：

x0=2x-3 y0=2y

又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程

x

2 0

+

y

2 0

=1得（2x-3）²+（2y）²=1
∴动点P的轨迹方程为(x-

3

2

)2+y2=

1

4

．            …（10分）

点评：本题考查参数方程和直角坐标的互化，利用直角坐标方程与参数方程间的关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．