Question

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）。
（I）求f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[ -3，3]上的单调性；
（Ⅲ）求出f（x）在[-3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（-1）=kf（1）=-k
∵f（0.5）=kf（2.5）
；
（Ⅱ）∵对任意实数x，f（x）=kf（x+2）
∴f（x-2）=kf（x）
∴f（x）=
当-2≤x<0，0≤x+2<2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
当-3≤x<-2，-1≤x+2<0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）；
当2≤x≤3时，0≤x-2≤1，；
故
∴k<0
∴f（x）在[-3，-1]与[1，3]上为增函数，在[-1，1] 上为减函数；
（Ⅲ）由函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知f（x）在x=-3或x=1处取得最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，而在x=-1或x=3处取得最大值，f（-1）=-k或f（3）=-
故有①k<-1时，f（x）在x=-3处取得最小值f（-3）=-k²，在x=-1处取得最大值，f（-1）=-k；
②k=-1时，f（x）在x=-3与x=l处取得最小值f（-3）= f（1）=-1，在x=-1与x=3处取得最大值f（-1）=f（3）=1
③-1<k<0时，f（x）在x=1处取得最小值f（1）=-1，在x=3处取得最大值。