Question

8．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+\frac{11}{3}}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆N的方程为ρ²-6ρsinθ=-8
（1）求圆N的圆心N的极坐标；
（2）判断直线l与圆N的位置关系．

Answer 1

分析 （1）求出圆N的直角坐标方程为x²+y²-6y+8=0，从而得到圆心N的直角坐标为N（0，3），由此能求出圆心N的极坐标．
（2）求出直线l的普通方程为3x+4y-7=0，圆N的圆心N（0，3），半径r=1，求出圆心N（0，3）到直线l的距离d=r，从而直线l与圆N相切．

解答 解：（1）∵圆N的方程为ρ²-6ρsinθ=-8，
∴圆N的直角坐标方程为x²+y²-6y+8=0，
∴圆心N的直角坐标为N（0，3），
∴$ρ=\sqrt{{0}^{2}+{3}^{2}}$=3，$θ=\frac{π}{2}$，
∴圆心N的极坐标为N（3，$\frac{π}{2}$）．
（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+\frac{11}{3}}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程为3x+4y-7=0，
由（1）知，圆N的圆心N（0，3），半径r=1，
圆心N（0，3）到直线l的距离d=$\frac{|0+12-7|}{\sqrt{9+16}}$=1，
∴直线l与圆N相切．

点评 本题考查圆心的极坐标求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查圆、直线方程、极坐标、直角坐标等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．