Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x时，f（x）-m≥1恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若f（x₀）=1，x₀∈[-π，π]，求x₀的值．

Answer 1

解：（1）设周期为T，则由已知可知T=2×=π，
又ω＞0，可知ω==2，…1分
又易知A=2，故f（x）=2sin（2x+φ），…2分
∵f（）=-2，
∴sin（+φ）=-1，
∴+φ=2kπ+π（k∈Z），又0＜φ＜，
解得φ=，
∴f（x）=2sin（2x+），…4分
（2）当≤x≤时，≤2x+≤…5分
∴-≤f（x）≤1…6分
又f（x）≥1+m恒成立，
∴1+m≤-，解得m≤-…8分
（3）f（x₀）=1，则sin（2x₀+）=…9分
∴2x₀+=2kπ+或2x₀+=2kπ+（k∈Z）…10分，
∴x₀=kπ或x₀=kπ+（k∈Z），
又x₀∈[-π，π]，
所以x₀=-π，-，0，，π…12分
分析：（1）依题意可求得A及其周期T=π，利用周期公式即可求得ω，再利用f（）=-2即可求得φ，从而可求f（x）的解析式；
（2）由≤x≤，利用正弦函数的单调性质可求得-≤f（x）≤1，又f（x）≥1+m恒成立，从而可求得实数m的取值范围；
（3）f（x₀）=1，利用正弦函数的性质即可求得x₀的值．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数恒成立问题，考查正弦函数的性质，考查属于难题．