Question

数列{a_n}中，a₁＞0，a₁≠1，又a_n+1=

2an

an+1

，n∈N^*．
（1）若a₁=

1

2

，求a₂，a₃，a₄，a₅的值，并归纳出数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在常数p（p≠0），使得{1+

p

an

}为等比数列？若存在，求出其公比；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列递推式,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a_n+1=

2an

an+1

，n∈N^*．a₁=

1

2

，求a₂，a₃，a₄，a₅的值，观察各项分子通项为2^n-1，分母通项为2^n-1+1，于是可以写出通项公；
（2）假设存在常数p（p≠0），使得{1+

p

an

}为等比数列，公比为q，据此可以求出1+

p

2

+

p

2an

=q+

pq

an

，故能求出q和p的值．

解答： 解：（1）a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

，a₅=

16

17

，
归纳猜想a_n=

2n-1

2n-1+1

．
（2）假设存在常数p（p≠0），使得{1+

p

an

}为等比数列，公比为q，则有
 1+

p

an+1

=q（1+

p

an

），
因为a_n+1=

2an

an+1

，所以1+

p (an+1)

2an

=q(1+

p

an

)，
化简得，1+

p

2

+

p

2an

=q+

pq

an

，
令

1+ p 2 =q p 2 =pq

，
解得p=-1，q=

1

2

，
经检验符合题意，故存在p=-1，使得{1+

p

an

}为等比数列，公比为

1

2

点评：本题主要考查数列递推式和等差关系的确定等知识点，熟练掌握反证法和归纳法进行数学解题，属于中档题．