【题目】椭圆C: =1(a>b>0),作直线l交椭圆于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,设直线l的斜率为k1 , 直线OM的斜率为k2 , k1k2=﹣
.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设直线l与x轴交于点D(﹣ ,0),且满足
=2
,当△OPQ的面积最大时,求椭圆C的方程.
【答案】
(1)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
代入椭圆C的方程有: ,
两式相减: ,
即 ,
直线l的斜率为k1,直线OM的斜率为k2,
可得k1= ,k2=
,
即有 ,
即b2= a2,c2=a2﹣b2=
a2,
可得 ;
(2)解:由(1)知 ,得a2=3c2,b2=2c2,
可设椭圆C的方程为:2x2+3y2=6c2,
设直线l的方程为: ,
代入椭圆C的方程有 ,
因为直线l与椭圆C相交,所以△=48m2﹣4(2m2+3)(6﹣6c2)>0,
由韦达定理: ,
.
又 ,所以y1=﹣2y2,代入上述两式有:
,
= ,
当且仅当 时,等号成立,此时c2=5,代入△,有△>0成立,
所以所求椭圆C的方程为:
【解析】(1)设P(x1 , y1),Q(x2 , y2),代入椭圆方程,作差,结合直线的斜率公式和中点坐标公式,即可得到b2= a2 , 运用离心率公式可得所求;(2)椭圆C的方程为:2x2+3y2=6c2 , 设直线l的方程为:
,代入椭圆方程,运用韦达定理,再由向量共线的坐标表示,求得三角形的面积,化简运用基本不等式可得最大值,即可得到所求椭圆方程.
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【题目】若命题“x0∈R,使得x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[2,6]
B.[﹣6,﹣2]
C.(2,6)
D.(﹣6,﹣2)
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【题目】如图,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2.
(1)求证:ADAB=AEAC;
(2)求线段BC的长度.
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【题目】如图,在三棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
分别为线段
上的点,且
,
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)若与平面
所成的角为
,求平面
与平面
所成的锐二面角.
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【题目】如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且 ,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2
(1)证明:AG∥平面BDE;
(2)求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值.
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【题目】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大,且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍,则
的值为( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
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【题目】某企业生产一种产品,根据经验,其次品率与日产量
(万件)之间满足关系,
(其中
为常数,且
,已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元(注:次品率=次品数/生产量, 如
表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品).
(1)试将生产这种产品每天的盈利额 (万元)表示为日产量
(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
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【题目】已知抛物线C1:x2=2py(p>0),点A(p, )到抛物线C1的准线的距离为2.
(1)求抛物线C1的方程;
(2)过点A作圆C2:x2+(y﹣a)2=1的两条切线,分别交抛物线于M,N两点,若直线MN的斜率为﹣1,求实数a的值.
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