Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求函数f（x）在区间[-2，4]上的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先利用特殊值法，求证f（0）=0，令y=-x即可求证；
（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），利用定义法进行证明；
（3）由函数为减函数，求出f（-2）和f（4）继而求出函数的值域，

解答： 解：（1）证明：∵f（x）的定义域为R，令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（0）=f（x）+f（-x）=0．
∴f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）．
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）是R上的减函数．
（3）∵f（-1）=2，∴f（-2）=f（-1）+f（-1）=4．
又f（x）为奇函数，∴f（2）=-f（-2）=-4，
∴f（4）=f（2）+f（2）=-8．
由（2）知f（x）是R上的减函数，
所以当x=-2时，f（x）取得最大值，最大值为f（-2）=4；
当x=4时，f（x）取得最小值，最小值为f（4）=-8．
所以函数f（x）在区间[-2，4]上的值域为[-8，4]．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．