Question

20．已知圆x²+y²-4x-6y+9=0与直线y=kx+3相交于A，B两点，若$|{AB}|≥2\sqrt{3}$，则k的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3}{4}$，0]
• B． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• C． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• D． [-$\frac{2}{3}$，0]

Answer 1

分析 当$|{AB}|≥2\sqrt{3}$时，求得圆心到直线的距离，列出不等式，由此求得k的范围．

解答 解：圆x²+y²-4x-6y+9=0即 （x-2）²+（y-3）²=4，当|AB|=2$\sqrt{3}$时，
圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离为d=$\frac{|2k-3+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
故当|AB|≥2$\sqrt{3}$时，d=$\frac{|2k-3+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，求得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．