Question

已知f（x）=|x+1|+|x-2|+|x+3|+|x-4|+…+|x+2013|+|x-2014|，（x∈R）且f（a²-3a+2）=f（a-1），则a的值有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、2014个
• D、无数个

Answer 1

考点：函数的值,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据绝对值函数的几何意义，得到函数f（x）是偶函数，建立方程组即可得到结论．

解答： 解：f（x）=|x+1|+|x-2|+|x+3|+|x-4|+…+|x+2013|+|x-2014|的几何意义是
到点-1，2，-3，4，…，-2013，2014的距离之和，
f（-x）=|-x+1|+|-x-2|+|-x+3|+|-x-4|+…+|-x+2013|+|-x-2014|
=|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|+…+|x-2013|+|x+2014|的几何意义是
到点1，-2，3，-4，…，2013，-2014的距离之和，
则根据绝对值的几何意义可知f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，
若f（a²-3a+2）=f（a-1），
则a²-3a+2=a-1，①或a²-3a+2=-（a-1），②，
由①得a²-3a+2=（a-1）（a-2）=a-1，
即（a-1）（a-3）=0，解得a=1或a=3．
由②得a²-3a+2=（a-1）（a-2）=-（a-1），
即（a-1）（a-1）=0，解得a=1．
综上a=1或a=3，
则a的值有2个，
故选：A

点评：本题主要考查函数值的计算，根据绝对值的几何意义判断出f（x）是偶函数，是解决本题的关键．难度较大．