Question

15．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A₁BE的位置，得到四棱锥A₁-BCDE．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）当平面A₁BE⊥平面BCDE时，四棱锥A₁-BCDE的体积为36$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A₁OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A₁OC．
（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A₁O是四棱锥A₁-BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a²，运用体积公式求解即可得出a的值．

解答 解：
（I）在图1中，
因为AB=BC=$\frac{1}{2}AD$=a，E是AD的中点，
∠BAD=$\frac{π}{2}$，
所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥A₁O，BE⊥OC，
从而BE⊥面A₁OC，
由CD∥BE，
所以CD⊥面A₁OC，
（II）即A₁O是四棱锥A₁-BCDE的高，
根据图1得出A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a²，
V=$\frac{1}{3}×S×{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$a³，
由a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$a³=36$\sqrt{2}$，得出a=6．

点评 本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．