Question

11．已知△ABC中，AC=2，AB=4，点P满足$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{AB}$，x+2y=1（x≥0，y≥0），且|$\overrightarrow{AP}$|的最小值为$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最小值=-$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 取线段AB的中点H，由向量共线定理，可得P在线段CH上，运用等腰三角形的性质可得P在中线CH上，求得BC，以C为原点，BC所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，2），B（-2$\sqrt{3}$，0），C（0，0），H（-$\sqrt{3}$，1），可得直线CH的方程，设出P的坐标，求得向量PA，PB，PC的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法，可得最小值．

解答 解：由$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{AB}$，x+2y=1，（x≥0，y≥0），
可得$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AC}$+2y•$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
取线段AB的中点H，由向量共线定理，可得P在线段CH上，
由AH=AC=2，可得P为CH的中点时，即有AP⊥CH，
此时AP的长取得最小值$\sqrt{3}$，可得CH=2，
在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，
由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos60°
=16+4-2×4×2×$\frac{1}{2}$=12，
即有BC=2$\sqrt{3}$，
以C为原点，BC所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，
建立直角坐标系，
可得A（0，2），B（-2$\sqrt{3}$，0），C（0，0），H（-$\sqrt{3}$，1），
直线CH的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，可设P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），m≤0，
则$\overrightarrow{PA}$=（-m，2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），$\overrightarrow{PB}$=（-2$\sqrt{3}$-m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），$\overrightarrow{PC}$=（-m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（-m，2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m）•（-2$\sqrt{3}$-2m，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m）
=2$\sqrt{3}$m+2m²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{2}{3}$m²=$\frac{8}{3}$m²+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$m
=$\frac{8}{3}$（m+$\frac{5\sqrt{3}}{8}$）²-$\frac{25}{8}$．
当m=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$时，取得最小值-$\frac{25}{8}$．
故答案为：-$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查向量数量积的最值的求法，注意转化为二次函数的最值求法，同时考查向量共线定理和化简整理的运算能力，属于中档题．