Question

3．已知（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ的展开式中前3项的系数成等差数列，设（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ
（1）求a₀的值
（2）求最大的二项式系数
（3）求系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ的展开式中前3项的系数成等差数列，可得：2${∁}_{n}^{1}×\frac{1}{2}$=1+${∁}_{n}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$，解得n=8，由（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=0，可得：a₀．
（2）由二项式系数的单调性可得：${∁}_{8}^{4}$最大．
（3）$（x+\frac{1}{2}）^{8}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}×（\frac{1}{2}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}$x^8-r，由$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r-1}{∁}_{8}^{r-1}}\\{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r+1}{∁}_{8}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得r即可得出．

解答 解：（1）（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ的展开式中前3项的系数分别为：1，${∁}_{n}^{1}×\frac{1}{2}$，${∁}_{n}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$，
由于它们成等差数列，∴2${∁}_{n}^{1}×\frac{1}{2}$=1+${∁}_{n}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$，化为n²-9n+8=0，
解得n=8或n=1（舍去），
由（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=0，可得：a₀=$（\frac{1}{2}）^{8}$=$\frac{1}{256}$．
（2）由二项式系数的单调性可得：${∁}_{8}^{4}$最大，可得：$C_8^4=70$．
（3）$（x+\frac{1}{2}）^{8}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}×（\frac{1}{2}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}$x^8-r，
由$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r-1}{∁}_{8}^{r-1}}\\{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r+1}{∁}_{8}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得2≤r≤3，
∴r=2或3．
∴系数最大的项是：7x⁵或7x⁶．

点评 本题考查了二项式定理的应用、不等式的解法、等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．