Question

18．在△ABC中，若角A，B，C的对边成等差数列
（1）求证：tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$；
（2）求5cosA-4cosAcosC+5cosC的值．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质和正弦定理得到2sinB=sinA+sinC，根据诱导公式，二倍角公式，和差化积公式，以及两角和与差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系即可求出；
（2）根据积化和差，和差化积，以及二倍角公式化简即可求出．

解答 解：（1）角A，B，C的对边成等差数列，
∴2b=a+c，
∴2sinB=sinA+sinC，
∴4sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A+C}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$，
∴2cos$\frac{A+C}{2}$=cos$\frac{A-C}{2}$，
∴2（cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$）=cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$，
∴cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$=3sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$，
∴tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）2cos$\frac{A+C}{2}$=cos$\frac{A-C}{2}$，
∴5cosA-4cosAcosC+5cosC=10cos$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$-2[cos（A+C）+cos（A-C）]，
=10cos$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$-2（2cos²$\frac{A+C}{2}$-1+2cos²$\frac{A-C}{2}$-1），
=20cos²$\frac{A+C}{2}$-4（5cos²$\frac{A+C}{2}$-1）
=4．

点评 本题考查了等差数列的性质和正弦定理得到，诱导公式，二倍角公式，和差化积公式，以及两角和与差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，属于中档题．