Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（2，-1）
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）求tan2θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值，可得要求式子的值．
（2）由条件求得tanθ的值，再利用二倍角的正切公式，求得tan2θ的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cosθ-sinθ=0，求得tanθ=2，
∴$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{tanθ-1}{tanθ+1}$=$\frac{1}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（cosθ-2 sinθ+1），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（cosθ-2）}^{2}{+（sinθ+1）}^{2}}$=$\sqrt{6+2sinθ-4cosθ}$=2，
∴2sinθ-4cosθ=-2，∴4sin²θ+16cos²θ-16sinθcosθ=4，又θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosθ＞0，∴tanθ=$\frac{3}{4}$，tan2θ=$\frac{2tanθ}{1{-tan}^{2}θ}$=$\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式，属于基础题．