Question

【题目】设函数f（x）=x2﹣ax+b．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集；
（2）当b=3﹣a时，对任意的x∈（﹣1，0]都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，

∴x=2，x=3是方程x2﹣ax+b=0的解，

由韦达定理得：a=5，b=6，

故不等式bx2﹣ax+1＞0为6x2﹣5x+1＞0，

解不等式6x2﹣5x+1＞0，

得其解集为{x|x＜ 或x＞ }

（2）解：据题意x∈（﹣1，0]，f（x）=x2﹣ax+3﹣a≥0恒成立，

则可转化为a≤ ，

设t=x+1，则t∈（0，1]，

= =t+ ﹣2关于t递减，

所以 =1+4﹣2=3，

∴a≤3

【解析】（1）根据二次函数的性质求出a，b的值，解不等式求出其解集即可；（2）问题转化为a≤ ，设t=x+1，则t∈（0，1]，从而求出a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对二次函数的性质的理解，了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．