Question

如图所示，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，有下列命题：
①满足λ+μ=2的点P必为BC的中点；
②λ+μ的最小值不存在；
③满足λ+μ=1的点P有且只有一个；
④λ+μ的最大值为3．
其中正确的命题序号是：

 

．（写出所有正确命题序号）

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，取AB=1．由于

AE

=

AD

+

DE

=

AD

-

AB

，

AP

=λ

AB

+μ

AE

，可得

AP

=(λ-μ)

AB

+μ

AD

=（λ-μ）（1，0）+μ（0，1）=（λ-μ，μ）．由动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，分类讨论即可得出．

解答： 解：如图所示，取AB=1．
∵

AE

=

AD

+

DE

=

AD

-

AB

，

AP

=λ

AB

+μ

AE

，
∴

AP

=(λ-μ)

AB

+μ

AD

=（λ-μ）（1，0）+μ（0，1）=（λ-μ，μ）．
由动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，
∴1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，
∴2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
综上，0≤λ+μ≤3．
①取λ=μ=1满足λ+μ=2，此时

AP

=

AB

+

AE

=

AD

，因此点P不一定是BC的中点，不正确；
②当P取点A时，λ+μ取得最小值0，因此不正确；
③当点P取B或AD的中点时：满足λ+μ=1的点P不唯一，因此不正确；
④当点P取C点时，

λ-μ=1 μ=1

，解得λ=2，μ=1，λ+μ取得最大值为3．
综上可知：只有④正确．
故答案为：④．

点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的三角形法则、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．