Question

如图，△PAB和△QAC是两个全等的直角三角形，其中PA=AC=2AB=2CQ=4，∠PBA=∠AQC=90°．将△PAB绕AB旋转一周，当P，Q两点间的距离在[

10

，2

7

]内变化时，动点P所形成的轨迹的长度是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意，把问题转化为求圆锥地面上两点间的弧长问题，由题意求出圆心角NOR，求出对应的劣弧长乘以2得答案．

解答： 解：由题意，延长CQ交BP于P，以PB为底面圆的半径，CP为母线作出圆锥如图（B与O重合），

结合题意可知OC=2，Q为CP的中点，过Q作QM垂直于底面交OP于M，
则QM=1，由QN=

10

，得MN=3，
又OP=2

3

，则OM=

3

，ON=2

3

，∴∠OMN为直角，则sin∠MON=

MN

ON

=

3

2 3

=

3

2

，∠MON=

π

3

；
由QR=2

7

，QM=1，得MR=3

3

，由OM=

3

，OR=2

3

，MR=3

3

，可得M，O，R共线，
∴∠NOR=π-

π

3

=

2π

3

．
∴动点P所形成的轨迹的长度是2×2

3

×

2π

3

=

8 3

3

π．
故答案为：

8 3

3

π．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了空间中的位置与距离，考查了数学转化思想方法，是中档题．