Question

已知函数f（x）=x+

1

x

，x∈（1，+∞）．
（Ⅰ）证明f（x）在区间（1，+∞）是单调增函数；
（Ⅱ）判断f（m）与f（m+1）的大小，其中m＞1．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）借助增函数来进行判断．

解答： 解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且1≤x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

1

x2

）-（x₁+

1

x1

）=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

；
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，∴x₁x₂-1＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数在区间（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数在区间（1，+∞）上是增函数，
又m＞1，m+1＞m＞1，
∴f（m）＜f（m+1）．

点评：本题主要考查函数的单调性的定义以及应用，属于基础题．