Question

已知函数 (a>0,且a≠1)，=.
（1）函数的图象恒过定点A，求A点坐标；
（2）若函数的图像过点(2,)，证明：函数在（1，2）上有唯一的零点.

Answer 1

（1）
（2）先利用已知条件求出a，在利用单调性和零点存在定理即可证明

解析试题分析：（1）因为对数函数恒过顶点（1,0），
所以令所以过顶点                                 5分
（2）∵  
∴代入计算可得a=2                                                         7分
∴
上的增函数和减函数
∴
∴                                      10分
又（1，2）
∴上至多有一个零点.                                            12分
而

∴函数（1，2）                                  16分
考点：本小题主要考查对数函数过定点和函数的单调性以及零点存在定理的应用.
点评：指数函数和对数函数都过定点，这条性质要灵活应用；利用函数的零点存在定理时要注意它只能判断有零点，不能判断零点的个数.