Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b=7，c=5，$B=\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理列出关系式，将c=5，b=7及cosB的值代入求出a的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：∵在△ABC中，$B=\frac{2π}{3}$，c=5，b=7，
∴b²=a²+c²-2b•ccosB，即7²=5²+a²-2×5a×cos$\frac{2π}{3}$=25+a²-10a×（-$\frac{1}{2}$）=25+a²+5a，
整理，得：a²+5a-24=0．
解得a=3（舍去负值）．
则S=$\frac{1}{2}$a•csin$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×$5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．
故答案是：$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．