Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+a（x＜0）}\\{f（x-1）（x≥0）}\end{array}\right.$，且函数y=f（x）-x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 分析函数f（x），其图象与y=x的图象有3个不同的交点，分析f（x）的最值即可确定a的范围．

解答 解：∵当x≥0时，f（x）=f（x-1），
∴f（x）在x≥0的图象相当于在[-1，0）的图象重复出现是周期函数，
x∈[-1，0）时，f（x）=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1，
对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，a+1）．
（1）如果a＜-1，函数y=f（x）-x至多有2个不同的零点；
（2）如果a=-1，则y有一个零点在区间（-1，0），有一个零点在（-∞，-1），一个零点在原点；
（3）如果a＞-1，则有一个零点在（-∞，-1），y轴右侧有两个零点．
故实数a的取值范围是[-1，+∞）
故填：[-1，+∞）

点评 本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定难度．