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已知函数为自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若函数上无零点,求最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.
(Ⅰ) 的单调递减区间为,单调递增区间为;(Ⅱ) ;(Ⅲ) .

试题分析:(Ⅰ)将代入,对求导,令分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间;(Ⅱ)通过分析已知先得到“对恒成立”,下面求上的最大值,所以,解出的最小值;(Ⅲ)先对求导,判断出上的单调性,并求出的值域,再对求导,确定单调性,画出简图,因为,得到,通过验证(2)是恒成立的,所以只需满足(3)即可,所以解出的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当时, (),则.   1分
;由.               3分
的单调递减区间为,单调递增区间为.       4分
(Ⅱ)因为在区间上恒成立是不可能的,       5分
故要使函数上无零点,只要对任意,恒成立.
即对恒成立.       6分
,则
再令,则.
为减函数,于是
从而,于是上为增函数,
所以,            8分
故要使恒成立,只要.
综上可知,若函数上无零点,则的最小值为.   9分
(Ⅲ),所以上递增,在上递减.

所以函数上的值域为.            10分
时,不合题意;
时,.
时,,由题意知,上不单调,
,即            11分
此时,当变化时,的变化情况如下:






0
+


最小值

又因为当时,

所以,对任意给定的,在上总存在两个不同的
使得成立,当且仅当满足下列条件:
,       12分
,则
故当,函数单调递增,
,函数单调递减,
所以,对任意的,有
即(2)对任意恒成立,则(3)式解得 (4) .     13分
综合(1)与(4)可知,当时,对任意给定的
上总存在两个不同的,使得成立.      14分
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