试题分析:(Ⅰ)将
代入
,对
求导,令
和
分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间;(Ⅱ)通过分析已知先得到“对
,
恒成立”,下面求
在
上的最大值,所以
,解出
的最小值;(Ⅲ)先对
求导,判断出
上的单调性,并求出
的值域,再对
求导,确定单调性,画出简图,因为
,得到
,通过验证(2)是恒成立的,所以只需满足(3)即可,所以解出
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当
时,
(
),则
. 1分
由
得
;由
得
. 3分
故
的单调递减区间为
,单调递增区间为
. 4分
(Ⅱ)因为
在区间
上恒成立是不可能的, 5分
故要使函数
在
上无零点,只要对任意
,
恒成立.
即对
,
恒成立. 6分
令
,
,则
,
再令
,
,则
.
故
在
为减函数,于是
,
从而
,于是
在
上为增函数,
所以
, 8分
故要使
恒成立,只要
.
综上可知,若函数
在
上无零点,则
的最小值为
. 9分
(Ⅲ)
,所以
在
上递增,在
上递减.
又
,
,
所以函数
在
上的值域为
. 10分
当
时,不合题意;
当
时,
,
.
当
时,
,由题意知,
在
上不单调,
故
,即
11分
此时,当
变化时,
,
的变化情况如下:
又因为当
时,
,
,
,
所以,对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
,
使得
成立,当且仅当
满足下列条件:
, 12分
令
,
,则
,
故当
时
,函数
单调递增,
当
时
,函数
单调递减,
所以,对任意的
,有
,
即(2)对任意
恒成立,则(3)式解得
(4) . 13分
综合(1)与(4)可知,当
时,对任意给定的
,
在
上总存在两个不同的
,使得
成立. 14分