Question

设函数f（x）=

ex

x2

-k（

2

x

+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

(x-2)(ex-kx)

x3

（x＞0），
当k≤0时，kx≤0，
∴e^x-kx＞0，
令f′（x）=0，则x=2，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，
故f（x）在（0，2）内不存在极值点；
当k＞0时，设函数g（x）=e^x-kx，x∈[0，+∞）．
∵g′（x）=e^x-k=e^x-e^lnk，
当0＜k≤1时，
当x∈（0，2）时，g′（x）=e^x-k＞0，y=g（x）单调递增，
故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；
当k＞1时，
得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，
x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，
∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1-lnk）
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点
当且仅当

g(0)＞0 g(lnk)＜0 g(2)＞0 0＜lnk＜2

解得：e＜k＜

e2

2

综上所述，
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，

e2

2

）

点评：本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．