Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，AM⊥CP，垂足为M，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：AD=AM；
（2）若⊙O的直径为2，∠PCB=30°，求PC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）通过证明△AMC≌△ADC，可得AD=AM；
（2）计算出PB，再利用切割线定理，求PC的长．

解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P，
∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，
∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC，
∴△AMC≌△ADC，
∴AD=AM；
（2）解：∵∠PCB=30°，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，
∴∠PAC=∠PCB=30°，
在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，
∴BC=1，∠ABC=60°，
∴∠BPC=30°，
∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，
由切割线定理得PC²=PB•PA=PB（PB+BA）=3，
∴PC=

3

．

点评：本题考查三角形全等的证明，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．