Question

已知向量

a

=（m，cos2x），

b

=（sin2x，n），函数f（x）=

a

•

b

，且y=f（x）的图象过点（

π

12

，

3

）和点（

2π

3

，-2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（

π

12

，

3

）和点（

2π

3

，-2），解方程组求得m、n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+

π

6

）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=

π

6

，可得g（x）=2cos2x．令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=

a

•

b

=msin2x+ncos2x，
再由y=f（x）的图象过点（

π

12

，

3

）和点（

2π

3

，-2），可得

1 2 m+ 3 2 n= 3 - 3 2 m- 1 2 n=-2

．
解得 m=

3

，n=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=

3

sin2x+cos2x=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）=2sin（2x+

π

6

）．
将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，
得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+

π

6

]=2sin（2x+2φ+

π

6

）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．
y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，
故函数g（x）的一个最高点在y轴上，
∴2φ+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=

π

6

，
故g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x．
令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，
故y=g（x）的单调递增区间是[kπ-

π

2

，kπ]，k∈Z．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．