Question

已知函数f（x）=sin（3x+

π

4

）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（

α

3

）=

4

5

cos（α+

π

4

）cos2α，求cosα-sinα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）令 2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由函数的解析式可得 f（

α

3

）=sin（α+

π

4

），又f（

α

3

）=

4

5

cos（α+

π

4

）cos2α，可得sin（α+

π

4

）=

4

5

cos（α+

π

4

）cos2α，化简可得 （cosα-sinα）²=

5

4

．再由α是第二象限角，cosα-sinα＜0，从而求得cosα-sinα 的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+

π

4

），令 2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
求得

2kπ

3

-

π

4

≤x≤

2kπ

3

+

π

12

，故函数的增区间为[

2kπ

3

-

π

4

，

2kπ

3

+

π

12

]，k∈Z．
（2）由函数的解析式可得 f（

α

3

）=sin（α+

π

4

），又f（

α

3

）=

4

5

cos（α+

π

4

）cos2α，
∴sin（α+

π

4

）=

4

5

cos（α+

π

4

）cos2α，即sin（α+

π

4

）=

4

5

cos（α+

π

4

）（cos²α-sin²α），
∴sinαcos

π

4

+cosαsin

π

4

=

4

5

（cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

）（cosα-sinα）（cosα+sinα）
即 （sinα+cosα）=

4

5

•（cosα-sinα）²（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα-sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，此时cosα-sinα=-

2

．
当sinα+cosα≠0时，此时cosα-sinα=-

5

2

．
综上所述：cosα-sinα=-

2

或-

5

2

．

点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．