Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=

3

2

|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁，经过点F₂的直线l与该圆相切于点M，|MF₂|=2

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）分别用a，b，c表示出|AB|和|F₁F₂|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e．
（Ⅱ）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF₁⊥PF₁，进而知两直线斜率相乘得-1，进而求得sinθ和cosθ，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF₂|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．

解答： 解：（Ⅰ）依题意可知

a2+b2

=

3

2

•2c，
∵b²=a²-c²，
∴a²+b²=2a²-c²=3c²，
∴a²=2c²，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²=2c²，
∴b²=a²-c²=c²，
∴椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，B（0，c），F₁（-c，0）
设P点坐标（

2

csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O，
∵PB为直径，
∴BF₁⊥PF₁，
∴k_BF1•k_PF1=

c

c

•

ccosθ

2 csinθ+c

=-1，
求得sinθ=-

2 2

3

或0（舍去），
由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，
cosθ=

1- 8 9

=

1

3

，
∴P坐标为（-

4

3

c，

1

3

c），
∴圆心O的坐标为（-

2

3

c，

2

3

c），
∴r=|OB|=

4 9 c2+ c2 9

=

5

3

c，|OF₂|=

25c2 9 + 4c2 9

=

29

3

c，
∵r²+|MF₂|²=|OF₂|²，
∴

5c2

9

+8=

29

9

c²，
∴c²=3，
∴a²=6，b²=3，
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a和c的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键．