Question

已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=

4-x2

关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶函数图象的对称性

专题：函数的性质及应用

分析：根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．

解答： 解：根据“对称函数”的定义可知，

h(x)+ 4-x2

2

=3x+b，
即h（x）=6x+2b-

4-x2

，
若h（x）＞g（x）恒成立，
则等价为6x+2b-

4-x2

＞

4-x2

，
即3x+b＞

4-x2

恒成立，
设y₁=3x+b，y₂=

4-x2

，
作出两个函数对应的图象如图，
当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=

|b|

1+32

=

|b|

10

=2，
即|b|=2

10

，
∴b=2

10

或-2

10

，（舍去），
即要使h（x）＞g（x）恒成立，
则b＞2

10

，
即实数b的取值范围是（2

10

，+∞），
故答案为：（2

10

，+∞）

点评：本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．