Question

已知a＞0，函数f（x）=

sin( π 2 x)， x∈[-1，0) ax2+ax+1， x∈[0，+∞)

，若f（t-

1

3

）＞-

2

2

，则实数t的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：分类讨论：当-1≤t-

1

3

＜0时，利用正弦函数的单调性即可得出；当t-

1

3

≥0时，a＞0时，f（t-

1

3

）＞-

2

2

恒成立．

解答： 解：①当-1≤t-

1

3

＜0时，f（t-

1

3

）=sin[

π

2

（t-

1

3

）]＞-

2

2

，
∴-

π

4

+2kπ＜

π

2

（t-

1

3

）＜

5π

4

+2kπ，
∴-

1

2

+4k＜t-

1

3

＜

5

2

+4k（k∈Z）．
又∵-1≤t-

1

3

＜0，∴-

1

2

＜t-

1

3

＜0，解得-

1

6

＜t＜

1

3

．
②当t-

1

3

≥0时，f（t-

1

3

）=a（t-

1

3

）²+a（t-

1

3

）+1＞-

2

2

，及a＞0，恒成立，
∴t≥

1

3

．
综上可知：实数t的取值范围为（-

1

6

，+∞）．
故答案为：（-

1

6

，+∞）．

点评：本题考查了分段函数的性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于中档题．