在平面直角坐标系中.曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosa}\\{y=2sina}\end{array}\right.$经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{x}{3}}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$后的曲线为C2.以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．在平面直角坐标系中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosa}\\{y=2sina}\end{array}\right.$（a为参数）经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{x}{3}}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$后的曲线为C₂，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C₃的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，且曲线C₃与曲线C₂相交于P，Q两点，求|PQ|的值．

分析（Ⅰ）求出C₂的参数方程，即可求C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）C₂是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C₃的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，直角坐标方程为x-$\sqrt{3}$y-2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．

解答解：（Ⅰ）C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x′=1+cosα}\\{y′=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程为（x′-1）²+y′²=1，
∴C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ；
（Ⅱ）C₂是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C₃的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，直角坐标方程为x-$\sqrt{3}$y-2=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|1-0-2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴|PQ|=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．

点评本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．

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