Question

已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1
（I）当x∈(-

1

2

，1)时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设H（x）=[f（x）+a-1]e^x，当a＞-1且a≠0时，时求函数H（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析：（I）讨论a，分布就①a=0，②a＞0，③a＜0三种情况求函数的最大值，要使f（x）＞0恒成立?f（x）_min＞0
（II）代入整理可得H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，对函数求导h′(x)=a(x-

1

a

)(x+1)ex就①

1

a

＞ -1②

1

a

＜-1③

1

a

= -1三种情况讨论函数H（x）的单调性及求极值．

解答：解：（I）①当a=0时f（x）=-x+1，在(-

1

2

，1)上f（x）＞0一定成立
②当a≠0时，f(x)=a(x-

1

a

)(x-1)当a＞0时，二次函数y=f（x）的图象开口向上，且与x轴有两个交点（1，0）和(

1

a

，0)要使f（x）＞0在(-

1

2

，1)上恒成立，当且仅当

1

a

≥1，即0＜a≤1；
当a＜0时，二次函数y=f（x）的图象开口向下，且与x轴有两个交点（1，0）和(

1

a

，0)要使f（x）＞0在(-

1

2

，1)上恒成立，当且仅当

1

a

≤-

1

2

，即-2≤a≤0
综合可得实数a的取值范围是：-2≤a≤1．

（II）H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，
H′(x)=[ax2+(a-1)x-1]ex=a(x-

1

a

)(x+1)ex
令H'（x）=0，解得x=

1

a

，或x=-1
①当a＞0时，则-1＜

1

a

．当x变化时，H'（x），H（x）的变化情况如下表：

所以函数H（x）在（-∞，-1），(

1

a

，+∞)内是增函数，在(-1，

1

a

)内是减函数．
函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e^-1函数H（x）在x=

1

a

处取得极小值H(

1

a

)，且H(

1

a

)=(a-1)e

1

a

②当-1＜a＜0时，则

1

a

＜-1，当x变化时，H'（x），H（x）的变化情况如下表：

所以函数H（x）在(-∞，

1

a

)，（-1，+∞）内是减函数，
在(

1

a

，-1)内是增函数函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e-1函数H（x）在x=

1

a

处取得极小值H(

1

a

)，且H(

1

a

)=(a-1)e

1

a

点评：本题主要考查了导数的应用：利用导数求函数的极值及判断函数的单调性、求单调区间，但当极值点中含有参数时，要对极值的大小讨论，体现了分类讨论的思想在解题中的应用、