Question

7．定义max{b，c}表示实数b，c中的较大的数．已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），若a₂₀₁₅=4a，则实数a的值为1．

Answer 1

分析 根据数列的递推公式对a进行分类讨论，分别根据递推公式求出a₃、a₄、a₅、a₆、…，归纳出数列的周期，由周期性和条件求出实数a的值．

解答 解：①当0＜a＜2时，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$，
同理可得：a₄=$\frac{8}{a}$，a₅=4，a₆=a，a₇=1，…，
可得a_n+5=a_n，数列{a_n}是周期为5的周期数列．
∴a₂₀₁₅=a₅=4=4a，解得a=1，成立；
②当a≥2时，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$≤2，
同理可得：a₄=4，a₅=2a≥4，a₆=a≥2，a₇=1，…，
可得a_n+5=a_n，数列{a_n}是周期为5的周期数列，
∴a₂₀₁₅=a₅=2a=4a，解得a=0，舍去，
综上可得，实数a的值是1，
故答案为：1．

点评 本题考查了数列递推关系的应用，数列的周期性，以及分类讨论思想，考查了推理能力，属于中档题．