Question

已知α与β的等差中项为

π

8

，tanα与1的等差中项为m，tanβ与1的等差中项为n，则m与n的等比中项是

 

．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：由等差数项和等比中项的性质得tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=tan

π

4

=1，从而m与n的等比中项G=±

mn

=±

1

2

(tanα+1)(tanβ+1)

=±

1

2

tanαtanβ+(tanα+tanβ)+1

，由此能求出m与n的等比中项为±

2

2

．

解答： 解：∵α与β的等差中项为

π

8

，tanα与1的等差中项为m，tanβ与1的等差中项为n，
∴

α+β=2× π 8 tanα+1=2m tanβ+1=2n

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=tan

π

4

=1，
∴m与n的等比中项G=±

mn

=±

1

2

(tanα+1)(tanβ+1)

=±

1

2

tanαtanβ+(tanα+tanβ)+1

=±

2

2

．
∴m与n的等比中项为±

2

2

．
故答案为：±

2

2

．

点评：本题考查等比中项的求法，是基础题，解题时要注意等差中项和等比中项的性质及三角函数知识的合理运用．