Question

16．三棱锥A-BCD中，BC⊥CD，AB⊥AC，∠ABC=60°，BC=CD=2，点E，F，G分别是棱AC，BC，BD的中点，直线AD与平面EFG的交点为H．
（1）求$\frac{AH}{HD}$的值；
（2）若AD=$\sqrt{5}$，求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出EF∥AB，GF∥CD，从而EFGH是平面图形，由GF∥CD，得CD∥平面EFGH，由EH?平面ACD，得EH与CD共面，进而CD∥EH，由此能求出$\frac{AH}{HD}$的值．
（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BDC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD-C的大小．

解答 解：（1）∵三棱锥A-BCD中，点E，F，G分别是棱AC，BC，BD的中点，
直线AD与平面EFG的交点为H，
∴EF∥AB，GF∥CD，
∵直线AD与平面EFG的交点为H，∴EFGH是平面图形，
∵GF?平面EFGH，CD?平面EFGH，GF∥CD，
∴CD∥平面EFGH，
∵EH?平面ACD，∴EH与CD共面，
∴CD∥EH，∴H是AD的中点，
∴$\frac{AH}{HD}$=1．
（2）∵BC⊥CD，AB⊥AC，∠ABC=60°，BC=CD=2，AD=$\sqrt{5}$，
∴AB=1，AC=$\sqrt{3}$，
以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BDC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），D（0，2，0），C（0，0，0），设A（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{|AB{|}^{2}=（a-2）^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=1}\\{|AC{|}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=3}\\{|AD{|}^{2}={a}^{2}+（b-2）^{2}+{c}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BA}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
设二面角ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴二面角A-BD-C的大小为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查线段的比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．